1998年，美国出资咨询与矿业金融大咖兰登·克莱（Landon T. Clay，1926–2017）捐助成立了克莱数学研讨所。这间非盈利私立研讨地点2000年5月24日宣告设置千禧年数学大奖（The Millennium Grand Challenge in Mathematics），给可以回答七大数学难题的每人每项一百万美元的奖金。其间，第四道难题是要证明流体动力学中最重要的“纳维–斯托克斯方程”（Navier-Stokes equation）是否有解且为仅有。这则新闻把一个通俗数学问题及其称谓广为遍及，乃至传达到数学范畴之外的揭露场合。
纳维-斯托克斯方程是描绘粘性不行紧缩流体动量守恒的运动方程组。该方程在不同条件下具有不一样的方式。它在三维空间的一般向量表达式包含简略的线性质量守恒方程∇⋅=0和杂乱的非线性动量守恒方程
1821年，纳维（Claude-Louis Navier，1785-1836）推行了欧拉方程，考虑到流体内部分子之间彼此作用力所发生的粘性，特别是在靠边界层的粘性对流体的明显影响，建立了一个不行紧缩流体动力平衡和运动底子方程式。
1827年，柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789-1857）在欧拉方程中引进流体微团应力张量的概念，推导出一个“柯西动量方程”，精确地描绘了流体运动不同于固体运动的底子规律。
1845年，乔治·斯托克斯（George G. Stokes，1819-1903）在纳维方程的根底上推导出了带常数粘性的不行紧缩流体的动量守恒运动方程式，也便是现在闻名的“纳维-斯托克斯方程”。
今日，纳维-斯托克斯方程解的存在仅有性和许多特征（例如光滑性）尚待证明。1934年，法国数学家让-勒雷（Jean Leray，1906-1998）证明了方程在某一种含义下弱解的存在。现在已知方程有一百多个特解，但一般解只能借助于核算机求数值近似。1999年，美国数学家史蒂夫·斯梅尔（Steve Smale，1930-）在题为“下一个世纪的数学问题”（Mathematical problems for the next century）的文章中也把纳维-斯托克斯方程列为现代数学尚待处理的18个极大难题之一。
图1 克劳德-路易·纳维塑像克劳德-路易·纳维（Claude-Louis Navier，1785年2月10日-1836年8月21日）是法国工程师与物理学家，他的首要奉献在力学范畴。纳维的父亲克劳德-伯纳德（Claude-Bernard Navier，1756-1793）是个律师，在法国大革新时期是巴黎国民议会（Assemblée Nationale de Paris）一位议员。父亲在1793年逝世后，母亲珍妮-玛丽（Jeanne-Marie Pourcher）自己回归老家Chalon-sur-Saône，把纳维留在巴黎由叔公、数学家和土木工程师高西（Émiland Gauthey，1732-1806）担任教育培养。当年，高西在桥梁公路校园（École des Ponts et Chaussées）兼职任教，并于1791年被政府任命为桥梁与公路修建集团的总督导。叔公是少年纳维心目中的典范典范，让他立志将来当一个土木工程师。1802年，17岁的纳维进入巴黎归纳理工学院（École Polytechnique）就读。纳维的入学效果简直排在最低端，但他后来十分尽力，一年后就进入了前十名优等生队伍。有理工学院，纳修理读了数学家傅立叶（Jean-Baptiste J. Fourier，1768-1830）主讲的数学剖析课程。纳维学习刻苦、思想灵敏，深得傅立叶教授的喜欢。后来，两人成为一生挚友。1804年，纳维以优等生资历从理工学院结业。1806年，叔公高西逝世，修建集团约请纳维去收拾他留下的丰厚文献记载和研讨资料。在接下来的十多年里，纳维修改了他叔公的手稿，首要是一些传统经历办法在土木工程中的多种使用，其间也加上了自己理论力学研讨的一些剖析效果。1813年，纳维为叔公出了新版的《桥梁特性》（Traité des ponts）以及为法国闻名水力学工程师伯纳德·德·贝利多尔（Bernard-Forest de Bélidor，1698-1761）出了新版的《工程手册》。1819年，纳维应聘在桥梁公路校园教学使用力学课程。在那里，纳维对传统的力学课程教学大纲做了一次彻底的变革，增加了很多的物理学和数学剖析内容。1820年代初期，纳维与在巴黎归纳理工学院任教的数学家柯西和加布里埃尔·拉梅（Gabriel Lamé，1795-1870）一同建立了力学中的弹性底子理论。1821年，纳维推导出一条新的弹性理论数学公式，第一次取得了有满足精确度的弹性力核算效果。1823年，纳维受政府托付前往英格兰和苏格兰，去了解链式悬索桥的建造状况。过后他宣告了一份闻名的查询陈述，其间提出了桥梁史上第一个悬索桥理论。这一效果让他在1824年获选为法国科学院院士。不过，纳维的科学研讨和工程实践也并非不无波折。1824年，纳维在掌管荣军院吊桥（Pont des Invalides）规划时，在核算中没有留出满足的安全余量，导致桥梁开裂并最终被撤除。其时指控不断，他因而受到了政府委员会的揭露问责，认为他的规划过火依赖于物理数学而不是工程经历。
1826年，纳维出书了《桥梁与路途学院课程总结》（Résumé des Leçons Donnees a lÉcole des Ponts et Chaussées），文中证明了弹性模量是资料的一个底子特点，只和物体的原料有关而与其结构几许形状无关。这项重要效果让他成为结构剖析理论的奠基人之一。1828年，纳维和泊松在《化学与物理年鉴》（Annales de Chimie et de Physique）杂志上发生了关于弹性理论的争辩。不过，由于两者都根据相同的分子假说，这场争辩无果而终。1830年7月，法国爆发了“七月革新”。国王查理十世（Charles Philippe X，1757-1836）逃离法国，由波旁王朝（Bourbon Restoration）国王菲利普一世（Louis Philippe I，1773-1850）继任。这事情让爱国者数学家柯西大为震动。柯西留下了家人，单独脱离巴黎到了瑞士，在弗里堡（Fribourg）待了一段时刻短时刻。在那里，他作了一个严重决议，回绝发誓效忠新政权。他因而失去了在巴黎的一切职位，除了不需要发誓的科学院院士资历。1831 年，柯西前往意大利都灵（Turin），随后承受了撒丁岛（Kingdom of Sardinia）国王的约请，担任专门为他建立的理论物理学教授职位。1831年，纳维顶替了柯西在巴黎归纳理工学院的职位，担任微积分及力学教授。
1836年8月21日，纳维在巴黎逝世，享年51岁。他的姓名和其他71 位法国名人一同，被镌刻在巴黎埃菲尔铁塔上。
图3 乔治·斯托克斯肖像（Alice Power绘，英国皇家学会存展)乔治·斯托克斯（George Gabriel Stoke）于1819年8月13日出生在爱尔兰北部Sligo郡Skreen教区，父亲加布里埃尔（Gabriel Stokes，1762-1834）是教区长，母亲伊丽莎白（Elizabeth Haughton）来自另一位教区长家庭。斯托克斯在家中八个孩子里最小，三个哥哥长大后都成为了牧师。斯托克斯从小承受家教，到1832年13岁时才被送到都柏林（Dublin）一所校园去承受正规教育。在校园里，斯托克斯显现出非凡的几许学查询和推证才能。三年后，斯托克斯到了英国Bristol College学习，该学院院长是位数学家，是斯托克斯哥哥在剑桥大学的同学。院长对斯托克斯的数学天资十分惊奇，力劝他到剑桥进修。1837年，斯托克斯取得奖学金进入了剑桥大学Pembroke College就读。从此之后，他终其一生从未脱离过该学院。在剑桥，斯托克斯得到了数学家威廉·霍普金斯（William Hopkins，1793-1866）的喜欢和特别辅导。1841年，斯托克斯以数学第一名荣誉生（Senior Wrangler）结业并获Smith奖。学院立刻供给了他一个研讨员职位（Master of Pembroke College）。在霍普金斯建议和辅导下，斯托克斯开端流体动力学方面的研讨。斯托克斯在1842年和1843年相继宣告了两篇论文“不行紧缩流体的稳态运动”（On the steady motion of incompressible fluids）和“关于流体运动的一些研讨”（On some cases of fluid motion）。之后，他进一步考虑有黏性流体的运动，并于1845年宣告了论文“论有内部摩擦力流体之运动”（On the theories of the internal friction of fluids in motion）。在宣告此论文之前，斯托克斯发现纳维早已在1822年写下相同的方程式，不过其定论带有估测性，而斯托克斯则是根据不同的假定条件下用严厉的数学理论推导出该方程式。尽管纳维在先，斯托克斯一再考虑之后仍是宣告了该论文。此举厥功至伟，文中严厉建立起来的方程式便是千禧难题“纳维-斯托克斯方程”。1846年，斯托克斯在英国科学促进会（British Association for the Advancement of Science）作了题为“流体动力学最新研讨陈述”（Report on recent researches in hydrodynamics）的闻名讲演，一时好评如潮，之后各项荣誉接二连三。1847年，斯托克斯在数学复变函数积分和无量级数剖析中有一个风趣的发现：他描绘了两个独立函数的线性组合曲线（“斯托克斯曲线”）在渐近改变过程中当变量的模跳过某个阈值（“斯托克斯界限”）时会呈现不连续性，后人称之为“斯托克斯现象”。1847年，斯托克斯参与了对英国Dee Bridge断塌灾祸的查询。他被委任为皇家委员会（Royal Commission）成员，对移动机车在大桥上的压力作了翔实核算和剖析，确认了底子原因是火车分量超过了桥梁铸铁的承载才能。过后，他还被任命为担任研讨风压对修建结构影响的皇家委员会成员。1849年，他在《剑桥哲学学会汇刊》宣告了一篇题为“衍射动力学理论”（The dynamical theory of diffraction）的长文，证明了光的偏振面是垂直于传达方向的。同年，他还宣告了一篇关于大地丈量的重要论文“关于地球外表重力的改变”（On the variation of gravity at the surface of the earth），指出地表重力的丈量并不依赖于地球内部的性质。同年，他承受了坐落伦敦的政府矿业学院物理学教授一职。1849年，三十而立的斯托克斯获剑桥卢卡斯数学教授（Lucasian Chair of Mathematics）座位，1851年被选为英国皇家学会院士，1854年出任皇家学会秘书，1887-1892年出任皇家学会院长。他是历史上除了牛顿以外仅有曾获英国皇家学会秘书、院长以及卢卡斯数学讲座教授三个头衔的人。1850年，斯托克斯开端测验调查过滤光（filtered light）。他让阳光穿过蓝色玻璃，然后将光束照射到黄色醌溶液中，以此发生激烈的黄色照明。斯托克斯对不同化合物的溶液进行了相同的试验，但发现只要一些化合物显现出与原始光束不同的色彩。1851年，斯托克斯对德裔英国天文学家威廉·赫歇尔（William Herschel，1738-1822）在1845年陈述的关于奎宁硫酸盐无色通明溶液外表在光照下会发生蓝色亮光的现象发生了极大爱好。他亲身做了试验，发现蓝色亮光是由奎宁溶液吸收了不行见的紫外线而引起的。他将这种光命名为“荧光”（fluorescence）。后来他还发现，石英棱镜而不是玻璃棱镜可用于研讨光谱的紫外线部分，然后确认了玻璃会吸收紫外线。他认为这些资料具有将不行见的紫外线辐射转化为波长较长的可见光的才能。这一资料特性被称为“斯托克斯平移”（Stokes shift），是拉曼散射（Raman scattering）的根底。研讨中，他还引进了描绘光偏振（polarization）状况的“斯托克斯参数”。翌年，斯托克斯把这项十分十分重要的研讨效果以“论光折射系数的改变”（On the change of the refrangibility of light）为题宣告在《英国皇家学会哲学汇刊》（Philosophical Transactions of the Royal Society）。同年，他因而项效果荣获英国皇家学会的Rumford奖章。1851年，斯托克斯在粘性流体运动的研讨工作中核算了球体在粘性介质中下落的终端速度，得到了闻名的“斯托克斯规律”（Stokes law）。后来，厘米-克-秒体系中的粘度单位被命名为“斯托克斯”。当年，斯托克斯还探讨了流体内部摩擦力对单摆运动的影响。他的研讨效果是流体动力学的一个新里程碑，对一些杂乱的天然现象如空中云的飘浮和水中浪的动摇等作出了合理的力学解说，并对触及水在河沟和管道中的活动以及船身在水中的外表阻力等使用规划供给了技能参阅。他也曾对声学做过研讨，包含风对声响强度影响的剖析。1857年，38岁功成名就的斯托克斯和剑桥Armagh天文台一位天文学家汤姆士·罗宾逊（Thomas R. Robinson，1792-1882）的女儿玛丽·苏珊娜（Mary Susanna Robinson，1825-1899）结了婚。新婚夫妇搬进了Lensfield Cottage，在那里斯托克斯还建立了一个小小试验室。夫妇俩哺育有五个子女并在那里度过了余生。婚后，斯托克斯在校园和政府部门担任了较多的行政职务，而且倾向于更为试验性而不是理论性的研讨。1862年，斯托克斯在英国科学促进会作了一个题为“论电光的长光谱”（On the long spectrum of electric light）的闻名讲演，陈述了从一串圆盘两层反射或透射的光强度改变的试验剖析效果。该陈述随后宣告在《英国皇家学会哲学汇刊》。斯托克斯在化学范畴也有过一些研讨和奉献。他和英国科学家、英国科学促进会创始人威廉·哈考特（William V. Harcourt，1789-1871）协作，研讨了各种玻璃的化学成分与光学功用之间的联络和通明度。他还和德国物理及化学家菲利克斯·霍普-塞勒（E. Felix I. Hoppe-Seyler，1825-1895）协作，发现了血红蛋白具有氧运送功用，并显现了血红蛋白溶液经过气体时所发生的色彩改变。1869年，斯托克斯被选为英国科学促进协会主席。1877年，斯托克斯荣获德国哥廷根大学颁布高斯奖章。1880年代初期，斯托克斯和英国物理学家威廉·克鲁克斯（William Crookes，1832-1919）协作研讨射线。其时他们都认为阴极射线（cathode ray）是带负电的粒子，但德国物理学家们则不认为然。1897年3月31日，斯托克斯写信给克鲁克斯，指出德国人所说的阴极射线Kathodenstrahlen“底子就不是射线，而是分子流”。一个月后，英国物理学家约瑟夫·汤姆森（Joseph J. Thomson，1866-1940）宣告从试验中发现了电子（electron）并因之而取得了 1906年的物理学诺贝尔奖。1889年，斯托克斯被英国皇家册封为男爵（Sir）。1893年，斯托克斯荣获名誉崇高的英国皇家学会科普里奖章（Copley Medal）。物理学家开尔文勋爵（Lord Kelvin，1824-1907）在颁奖词中说：“五十二年前，他就开端了流体运动的主题研讨，然后精巧地勾画出流体特性的彻底实在赋性，并以新颖的视角经过深化到物质的构成中去发现数学问题的极致之美”。记载标明，斯托克斯和开尔文勋爵有长达55年的友谊和协作，期间两边合作共进，各自效果累累。其间一件轶事说，1854年两人在一次评论中斯托克斯估测可以用太阳光光谱中的Fraunhofer线来说明太阳的化学成分。但由于他没有正式宣告文章，后来1859年德国物理学家古斯塔夫·基尔霍夫（Gustav R. Kirchhoff，1824-1887）和罗伯特·本生（Robert W. Bunsen，1811-1899）宣告频谱剖析原理时，斯托克斯并不出声，毫无意念去抢夺这项效果。1899年，斯托克斯因担任卢卡斯讲座教授50周年承受了剑桥大学的喜庆，成为“禧年教授”（Professorial Jubilee）。1901年，斯托克斯获普鲁士科学院颁布Helmholtz 奖章。1902年，斯托克斯获剑桥大学Pembroke College颁发最高荣誉。同年，他获挪威 Royal Frederick University（现为University of Oslo）颁发荣誉数学博士学位。之前，斯托克斯还取得过英国剑桥、牛津、爱丁堡、格拉斯哥、阿伯丁和爱尔兰都柏林大学的荣誉博士学位。1903年2月1日，斯托克斯在剑桥Lensfield Cottage逝世，享年84岁。他被葬于剑桥的Mill Road坟场。为了留念斯托克斯，后人在他的出生地矗立了一块牌子。
斯托克斯为人性格谦和，日子俭朴，是个忠诚教徒。他一生对科学与崇奉之间的联络十分感爱好，并热心参与发明论与进化论的各种争辩。1885年，他开端担任维多利亚研讨所（Victoria Institute）所长职务直至逝世。该研讨所探究宗教教义与科学发现之间的联络。斯托克斯的悉数数学和物理学论文经收拾后分五卷出书。前三卷是斯托克斯于1880年、1883年和1891年亲身修改的，后两卷则是在斯托克斯逝世后由爱尔兰裔英国物理学和数学家约瑟夫·拉莫尔（Joseph Larmor，1857-1942）于1905年完结的。
回忆十九世纪中叶，剑桥是国际学术界的数学物理学中心，效果巨大、名誉斐然。斯托克斯和詹姆斯·麦克斯韦（James Clerk Maxwell, 1831-1879）以及开尔文勋爵一同，被誉为是对剑桥数学物理中心做出了最重要学术奉献的“天然哲学家三人组”（The Trio of Natural Philosophers），名垂青史。